Question

如图，过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A、B（|AF|＞|BF|），交其准线于点C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=2，则此抛物线的方程为

y²=2x

．

Answer 1

分析：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由抛物线的定义得到x₁=2-

p

2

，再由|BC|=2|BF|解出x₂=

p

6

，利用抛物线的性质x₁x₂=

p2

4

建立关于p的方程，解之可得p=1，即得此抛物线的方程．

解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由抛物线的定义，得|AF|=

p

2

+x₁=2，
∴x₁=2-

p

2

∵直线l交抛物线准线于点C，|BC|=2|BF|，
∴x₂=

p

6

，
由抛物线的性质，得x₁x₂=

p

6

（2-

p

2

）=

p2

4

解之得p=1，可得此抛物线的方程为y²=2x
故答案为：y²=2x

点评：本题给出抛物线满足的条件，求抛物线的方程．着重考查了抛物线的定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．