Question

（本小题满分13分）对于函数，如果它们的图象有公共点P，且在点P处的切线相同，则称函数和在点P处相切，称点P为这两个函数的切点. 设函数,.

（Ⅰ）当,时, 判断函数和是否相切？并说明理由；

（Ⅱ）已知，，且函数和相切，求切点P的坐标；

（Ⅲ）设，点P的坐标为，问是否存在符合条件的函数和，使得它们在点P处相切？若点P的坐标为呢？（结论不要求证明）

Answer 1

（Ⅰ）函数和不相切.; （Ⅱ）;（Ⅲ）详见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由条件知，由，得， 又因为 ，， 所以当时，，，所以对于任意的，.即可证明，当,时,函数和不相切. （Ⅱ）若，则，，设切点坐标为 ，其中,

由题意，得 ①；② 可得 ， ，进而的.

设函数 ，，则 ，列出当变化时，与的变化情况表，可得切点P的坐标；（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）即可得到结果.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
结论：当,时,函数和不相切. 1分

理由如下：

由条件知，

由，得，

又因为 ，， 2分

所以当时，，，

所以对于任意的，.

当,时,函数和不相切. 3分

（Ⅱ）【解析】
若，则，，

设切点坐标为 ，其中,

由题意，得 ， ①

， ② 4分

由②，得 ，

代入①，得 . （*） 5分

因为 ，且，

所以 .

设函数 ，，

则 . 6分

令 ，解得或(舍). 7分

当变化时，与的变化情况如下表所示，

		1
		0
	↗		↘

8分

所以当时，取到最大值，且当时.

因此，当且仅当时.

所以方程（*）有且仅有一解.

于是 ，

因此切点P的坐标为. 9分

（Ⅲ）【解析】
当点的坐标为时，存在符合条件的函数和，使得它们在点

处相切； 11分

当点的坐标为时，不存在符合条件的函数和，使得它们在点处相切. 13分.

考点：1.导数的几何意义；2.导数在函数单调性上的应用.