Question

13．已知集合$A=\left\{{x|{x^2}-x-2≤0}\right\}，B=\left\{{x|\frac{1}{2}＜{{（{\frac{1}{2}}）}^x}＜4}\right\}，C=\left\{{x|x≥m}\right\}$．
（Ⅰ）求A∩B，（∁_RA）∪B；
（Ⅱ）若A∪C=C，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简集合A，B，再根据集合的交集，补集，并集的运算法则计算即可，
（Ⅱ）由A∪C=C，得到A⊆C，继而求出m的范围．

解答 解：（Ⅰ）∵x²-x-2≤0，
∴（x+1）（x-2）≤0，
∴-1≤x≤2，
∴A=[-1，2]，
∴∁_RA=（-∞，-1）∪（2，+∞），
∵$\frac{1}{2}$＜$（\frac{1}{2}）^{x}$＜4=$（\frac{1}{2}）^{-2}$，
∴-4＜x＜1，
∴B=（-4，1），
∴A∩B=[-1，1），（∁_RA）∪B=（-∞，1）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）A∪C=C，
∴A⊆C，
∵C={x|x≥m}=[m，+∞），
∴m≥-1
∴实数m的取值范围为[-1，+∞）

点评 此题考查了交、并、补集的混合运算以及集合之间的关系，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．