Question

1．如图，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{1}{2}$，定点A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）在椭圆上，F₁，F₂为椭圆的左、右焦点，定直线l的方程为x=-4，过椭圆上一点P作切线m与l交于T点，过P且垂直于直线m的直线n交F₁F₂于点M．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的离心率为e，求证：$\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}$=e；
（3）证明PM为∠F₁PF₂的平分线．

Answer 1

分析 （1）利用离心率找到a，b，c的关系，把方程中的a，b用c表示，代入定点坐标；（2）设点P的坐标，求出M点的坐标，把PF₁，F₁M用点P的坐标表示（3）用（2）中求得的坐标，结合内角平分线定理进行证明，用焦半径计算公式求PF₁ 和PF₂

解答 解：（1）设椭圆的半焦距为c，
因为e=$\frac{1}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=4c²，b²=3c²，则椭圆的方程变为
$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$
代入点A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）的坐标得到：c²=1
故椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$
（2）设P（x₀，y₀），
因为椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，所以$\frac{2x}{4}+\frac{2y{y}^{'}}{3}=0$，即$y'=-\frac{3x}{4y}$，所以直线n的斜率是$\frac{4{y}_{0}}{3{x}_{0}}$
∴直线n的方程是：$y-{y}_{0}=\frac{4{y}_{0}}{3{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，
在直线方程中令y=0，得到${x}_{M}=\frac{{x}_{0}}{4}$
因为
 $\frac{{F}_{1}M}{P{F}_{1}}=\frac{\frac{{x}_{0}}{4}-（-1）}{2+\frac{1}{2}{x}_{0}}=\frac{{x}_{0}+4}{8+2{x}_{0}}=\frac{1}{2}=e$
所以结论成立
（3）由（2）知点M（$\frac{{x}_{0}}{4}，0$）
因为
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}=\frac{a+e{x}_{0}}{a-e{x}_{0}}=\frac{2+\frac{1}{2}{x}_{0}}{2-\frac{1}{2}{x}_{0}}=\frac{4+{x}_{0}}{4-{x}_{0}}$，$\frac{{F}_{1}M}{M{F}_{2}}=\frac{\frac{{x}_{0}}{4}+1}{1-\frac{{x}_{0}}{4}}=\frac{4+{x}_{0}}{4-{x}_{0}}$
所以
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}=\frac{{F}_{1}M}{M{F}_{2}}$
即PM是∠F₁PF₂的角平分线
所以结论成立

点评 （1）利用方程思想解出椭圆的方程；（2）求直线m的斜率用的复合函数的求导，也可以用判别式法，但是求导比判别式简单；（3）第（2）解出点M的坐标后，本小题就比较简单了，但是要用到内角平分线定理．