Question

3．定义max{a，b}表示实数a，b中的较大的数．已知数列{a_n}满足a₁=a（a＞0），a₂=1，a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1，}2\}}{{a}_{n}}$（n∈N），若a₂₀₁₅=4a，记数列{a_n}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₅的值为7254．

Answer 1

分析 当0＜a＜2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列{a_n}是以5为周期的周期数列，a₂₀₁₅=a₅=4=4a，解得a=1，求出S₂₀₁₅的值；当a≥2时，利用递推公式分别求出数列的前8项，得到数列{a_n}是以5为周期的周期数列，a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，不合题意．

解答 解：当0＜a＜2时，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，
a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1，}2\}}{{a}_{n}}$（n∈N），
∴a₃=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$＞2，
a₄=2max{$\frac{4}{a}$，2}=$\frac{8}{a}$，
a₅=$\frac{a}{4}$•2max{$\frac{8}{a}$，2}=4，
a₆=$\frac{a}{8}$•2max{4，2}=a，
a₇=$\frac{1}{4}$•2max{a，2}=1，
a₈=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$，
…
∴数列{a_n}是以5为周期的周期数列，
∵2015=403×5，
∴a₂₀₁₅=a₅=4=4a，
解得a=1，
∴S₂₀₁₅=403（a+1+$\frac{4}{a}+\frac{8}{a}+4$）=403（1+1+4+8+4）=7254；
当a≥2时，
∵a₁=a（a＞0），a₂=1，
a_n+2=$\frac{2max\{{a}_{n+1，}2\}}{{a}_{n}}$（n∈N），
∴a₃=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$＜2，
a₄=2max{$\frac{4}{a}$，2}=4，
a₅=$\frac{a}{4}$•2max{4，2}=2a≥4，
a₆=$\frac{1}{4}$•2max{2a，2}=a＞2，
a₇=$\frac{1}{2a}$•2max{a，2}=1，
a₈=$\frac{1}{a}$•2max{1，2}=$\frac{4}{a}$，
…
∴数列{a_n}是以5为周期的周期数列，
∵2015=403×5，
∴a₂₀₁₅=a₅=2a=4a，解得a=0，不合题意．
故答案为：7254．

点评 本题考查数列的递推式，考查了数列的函数特性，训练了数列前n项和的求法，关键是注意递推公式和周期数列的合理运用，是中档题．