Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y²=2px（p＞0），过定点A（p，0）作直线交该抛物线于M、N两点．
（I）求弦长|MN|的最小值；
（II）是否存在平行于y轴的直线l，使得l被以AM为直径的圆所截得的弦长为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线MN：x=my+p，当m=0时，；当m≠0时，联立y²=2px与x=my+p，得y²-2mpy-2p²=0．由此能求出弦长|MN|的最小值．
（II）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x，y），l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得==．由此能求出存在直线l，其方程为．
解答：解：（I）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直线MN：x=my+p
①当m=0时，
②当m≠0时，联立y²=2px与x=my+p
得y²-2mpy-2p²=0
比较①②知（6分）
（II）设存在平行于y轴的直线l，方程为x=t，M（x₁，y₁），圆心为C（x，y）
l被圆C截得的弦长为q，则由圆的几何性质可得：
==
当时，q=p为定值
故存在这样的直线l，其方程为（12分）
点评：本题考查弦长的计算和直线与抛物线位置关系的综合运用，解题时要注意分类讨论思想和弦长公式的合理运用，注意合理地进行等价转化．