Question

在平面直角坐标系中，A（3，0）、B（0，3）、C（cosθ，sinθ），θ∈(

π

2

，

3π

2

)，且|

AC

|=|

BC

|．
（1）求角θ的值；
（2）设α＞0，0＜β＜

π

2

，且α+β=

2

3

θ，求y=2-sin²α-cos²β的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用A，B，c的坐标根据|

AC

|=|

BC

|建立等式化简求得tanθ的值，根据θ的范围求得θ的值．
（2）根据（1）中θ的值求得α+β的值，把函数的解析式利用二倍角公式和两角和公式化简整理利用β的范围和正弦函数的性质求得函数的最小值．

解答：解：（1）由|

AC

|=|

BC

|得（3-cosθ）²+sin²θ=cos²θ+（3-sinθ）²，
化简得tanθ=1，
因为θ∈(

π

2

，

3π

2

)，
所以θ=

5π

4

．
（2）α+β=

2

3

θ=

5π

6

，y=2-

1-cos2α

2

-

1+cos2β

2

=1+

1

2

(cos2α-cos2β)
=1+

1

2

[cos(

5π

3

-2β)-cos2β]=1-

1

2

(

3

2

sin2β+

1

2

cos2β)=1-

1

2

sin(2β+

π

6

)
因为0＜β＜

π

2

，

π

6

＜2β+

π

6

＜

7π

6

，-

1

2

＜sin(2β-

π

3

)≤1，
所以

1

2

≤1-

1

2

sin(2β+

π

6

)＜

3

4

，
即β=

π

6

、α=

2π

3

时，y取最小值，
且ymin=

1

2

．

点评：试题核心是三角计算，情景与条件有鲜明的几何意义，试题求解综合了较多三角恒等变换与三角函数性质．