Question

3．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
（1）求f（1），f（2），f（$\frac{1}{2}$）的值；  
（2）证明f（a）+f（$\frac{1}{a}$）=1
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{100}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式直接求解函数值即可．
（2）利用解析式求解即可．
（3）利用（2）的结果，直接求解即可．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
f（1）=$\frac{1}{2}$；f（2）=$\frac{4}{5}$；f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{5}$．…（6分）
（2）函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
f（a）+f（$\frac{1}{a}$）=$\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{{a}^{2}}}{1+\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\frac{{a}^{2}}{1+{a}^{2}}$+$\frac{1}{1+{a}^{2}}$=1…10分
（3）由（2）可知，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（100）+f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（$\frac{1}{100}$）
=f（1）+f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（100）+f（$\frac{1}{100}$）
=99.5                                          …（14分）

点评 本题考查函数的值的求法，函数的解析式的应用，考查计算能力．