Question

9．已知3^b=6^a-2^a，4^a=8^b-5^b，试判断实数a，b的大小关系，并给出证明．

Answer 1

分析 利用反证法：假设a≥b，则3^a≥3^b，4^a≥4^b．由已知可得6^a=3^b+2^a≤3^a+2^a，8^b=4^a+5^b≥4^b+5^b，化为f（a）=$（\frac{1}{2}）^{a}+（\frac{1}{3}）^{a}$≥1，g（b）=$（\frac{1}{2}）^{b}+（\frac{5}{8}）^{b}$≤1，
利用指数函数的单调性可知：f（x）与g（x）在R上单调递减，即可得出．

解答 解：假设a≥b，则3^a≥3^b，4^a≥4^b．
∴6^a=3^b+2^a≤3^a+2^a，8^b=4^a+5^b≥4^b+5^b，
化为f（a）=$（\frac{1}{2}）^{a}+（\frac{1}{3}）^{a}$≥1，g（b）=$（\frac{1}{2}）^{b}+（\frac{5}{8}）^{b}$≤1，
利用指数函数的单调性可知：f（x）与g（x）在R上单调递减，
f（1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$＜1，g（1）=$\frac{1}{2}+\frac{5}{8}$＞1，
∴f（a）≥1＞f（1），g（b）≤1＜g（1），
∴a＜1，b＞1，
∴a＜1＜b，
与假设a≥b，∴假设不成立．
∴a＜b．

点评 本题考查了指数函数的单调性、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．