Question

19．函数y=asin（x+$\frac{π}{6}$）+b的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{2}$]，求a的值及函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 分a＞0和a＜0结合三角函数的值域列方程组求得a值，再由复合函数的单调性求得单调递增区间．

解答 解：由题意可知，a≠0．
当a＞0时，有$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=-\frac{1}{2}}\\{a+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得$a=\frac{5}{2}$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ$，
解得$-\frac{2}{3}π+2kπ≤x≤\frac{π}{3}+2kπ，k∈Z$．
∴函数的单调增区间为$[-\frac{2}{3}π+2kπ，\frac{π}{3}+2kπ]，k∈Z$；
当a＜0时，有$\left\{\begin{array}{l}{a+b=-\frac{1}{2}}\\{-a+b=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，解得a=-5．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{6}≤\frac{3}{2}π+2kπ$，
解得$\frac{π}{3}+2kπ≤x≤\frac{4}{3}π+2kπ，k∈Z$．
∴函数的单调增区间为$[\frac{π}{3}+2kπ，\frac{4}{3}π+2kπ]，k∈Z$．

点评 本题考查三角函数的最值，考查了利用三角函数的单调性求三角函数的值域，体现了分类讨论的数学思想方法，是基础题．