题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过的直线与椭圆交于
、
两点，若
是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】分析：设|F1F2|=2c，|AF1|=m，若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=
m，再由椭圆的定义和周长的求法，可得m，再由勾股定理，可得a，c的方程，求得
，开方得答案．
详解：如图，设|F1F2|=2c，|AF1|=m，
若△ABF1构成以A为直角顶点的等腰直角三角形，
则|AB|=|AF1|=m，|BF1|=m，
由椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a，
即有4a=2m+m，即m=2（2﹣）a，
则|AF2|=2a﹣m=（2﹣2）a，
在直角三角形AF1F2中，
|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
即4c2=4（2﹣）2a2+4（﹣1）2a2，
∴c2=（9﹣6）a2，
则e2==9﹣6=
，
∴e=
．
故答案为：．
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