Question

【题目】设函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点和，记过点，的直线的斜率为，问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）不存在

【解析】分析：（1）求得导函数，判断二次方程的根的情况得出＝0的解及在上的正负值变化，从而得单调性；

（2）假设存在，由（1）知，先表示出化简为，从而，再由消元，（），设出新函数，通过导数研究出此方程无解，因此得不存在．

详解： (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋－＝.

令g(x)＝x2－ax＋1，则方程x2－ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－4.

①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

②当a<－2时，Δ>0，g(x)＝0的两根都小于0，在(0，＋∞)上恒有f′(x)>0，

故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

③当a>2时，Δ>0，g(x)＝0的两根为x1＝，x2＝，

当0<x<x1时，f′(x)>0；当x1<x<x2时，f′(x)<0；当x>x2时，f′(x)>0，

故f(x)在(0，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．

(2)由(1)知，a>2.

因为f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＋－a(ln x1－ln x2)，

所以k＝＝1＋－a·.

又由(1)知，x1x2＝1.于是k＝2－a·.

若存在a，使得k＝2－a.则＝1.

即ln x1－ln x2＝x1－x2.

亦即x2－－2ln x2＝0(x2>1)．　(*)

再由(1)知，函数h(t)＝t－－2ln t在(0，＋∞)上单调递增，而x2>1，

所以x2－－2ln x2>1－－2ln 1＝0.这与(*)式矛盾．

故不存在a，使得k＝2－a.