Question

（1）（选修4-2 矩阵与变换）已知矩阵，向量．
①求矩阵A的特征值λ₁、λ₂和特征向量、；
②求A⁵的值．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程求极坐标系中，圆ρ=2上的点到直线的距离的最小值．
（3）选修4-5；不等式选讲知x，y，z为正实数，且=1，求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x，y，z的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）①先求出矩阵A的特征多项式，令特征多项式等于零，求得特征值，即可求得特征向量、．
②由求得m、n的值，再由=，运算求得结果．
（2）把圆、直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再将此距离减去半径，即得所求．
（3）由柯西不等式得 ，再利用基本
不等式求得它的最小值．
解答：解：（1）①矩阵A的特征多项式为=λ²-5λ+6，令f（λ）=0，得λ₁=2，λ₂=3，
当λ₁=2时，得，当λ₂=3时，得．…（3分）
②由得，得m=3，n=1．
∴==．…（7分）
（2）解：由 ρ=2即ρ²=4，则易得x²+y²=4，由易得，
∴圆心（0，0）到直线的距离为，
∵又圆的半径为2，
∴圆上的点到直线的距离的最小值为d=d-2=3-2=1．…（7分）
（3）解：由柯西不等式得
≥=36，
当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6，y=3，z=2，
所以当x=6，y=3，z=2时，x+4y+9z取得最小值36．…（7分）
点评：本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化，矩阵的特征值与特征向量，柯西不等式的应用，属于基础题．