题目内容

设 $数学公式$ （x＞0）．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）
（2）若x≥2时，不等式 $数学公式$ 恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ （x＞0）∴y＞1（2分）
由原式有： $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （2分）
∴ $\text{[math]}$ x∈（1，+∞）（2分）
（2）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （x＞0）
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ （2分）
①当a+1＞0即a＞-1时 $\text{[math]}$ 对x≥2恒成立 $\text{[math]}$
②当a+1＜0即a＜-1时 $\text{[math]}$ 对x≥2恒成立
∴ $\text{[math]}$ 此时无解（3分）
综上 $\text{[math]}$ -（1分）
分析：（1）从条件中函数式 $\text{[math]}$ =y，（x＞0）中反解出x，再将x，y互换即得f（x）的反函数f^-1（x）．
（2）利用（1）的结论，将不等式 $\text{[math]}$ 化成 $\text{[math]}$ ，下面对a分类讨论：①当a+1＞0；②当a+1＜0．分别求出求实数a的取值范围，最后求它们的并集即可．
点评：本小题主要考查反函数、函数恒成立问题等基础知识，考查运算求解能力．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．