Question

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆x²+3y²=1上的两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）设，，（θ∈R）．求证：点M在椭圆上；
（Ⅱ）若，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设M（x，y），根据条件，可求得x²+3y²=1，从而可证得结论；
（Ⅱ）设|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，可求得A，B两点的坐标，代入x²+3y²=1，可整理得，应用基本不等式可求得，从而，问题解决．
解答：证明：（Ⅰ）∵，
∴x₁x₂+3y₁y₂=0，
又，
设M（x，y），则（x，y）=（x₁cosθ，y₁cosθ）+（x₂sinθ，y₂sinθ）=（x₁cosθ+x₂sinθ，y₁cosθ+y₂sinθ），
则x²+3y²=（x₁cosθ+x₂sinθ）²+3（y₁cosθ+y₂sinθ）²=（x₁²+3y₁²）cos²θ+（x₂²+3y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+3y₁y₂）
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是椭圆x²+3y²=1上的两点，
∴x₁²+3y₁²=1，x₂²+3y₂²=1，又x₁x₂+3y₁y₂=0，
∴（x₁²+3y₁²）cos²θ+（x₂²+3y₂²）sin²θ+2sinθcosθ（x₁x₂+3y₁y₂）=cos²θ+sin²θ=1．故点M在椭圆上．
（Ⅱ）设|OA|=p，|OB|=q，∠xOA=α，
则
则
从而，
故．
∴．
的最小值为．
点评：本题考查椭圆的参数方程，难点在于解题思路的突破及基本不等式的灵活运用，属于难题．