题目内容

设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
1
2
+log2
x
1-x
图象上任意两点，且
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
），已知点M的横坐标为
1
2
，且有Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），其中n∈N*且n≥2，
（1）求点M的纵坐标值；
（2）求s2，s3，s4及Sn；
（3）已知an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
分析：（1）由
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
）知M为线段AB的中点，由M的横坐标为
1
2
得x1+x2=1，由此可求得y1+y2，从而可得点M的纵坐标；
（2）根据Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
），分别令n=2，3，4即可求得s2，s3，s4；由（1）知，由
1
n
+
n-1
n
=1，得f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1，从而可求得2Sn；
（3）先表示出an，利用裂项相消法求得Tn，分离出参数λ后转化为求函数的最值可解决，利用基本不等式可得最值；
解答：解：（1）依题意，由
OM
=
1
2
（
OA
+
OB
）知M为线段AB的中点，
又因为M的横坐标为
1
2
，A（x1，y1），B（x2，y2），
∴
x1+x2
2
=
1
2
，即x1+x2=1，
∴y1+y2=1+log2(
x1
1-x1
•
x2
1-x2
)=1+log21=1，
所以
y1+y2
2
=
1
2
，
即点M的横坐标为定值
1
2
；
（2）S2=f(
1
2
)=
1
2
+log2
1
2
1-
1
2
=
1
2
，
S3=f(
1
3
)+f(
2
3
)=
1
2
+log2
1
3
1-
1
3
+
1
2
+log2
2
3
1-
2
3
=1，
S4=f(
1
4
)+f(
2
4
)+f(
3
4
)=
1
2
+log2
1
4
1-
1
4
+
1
2
+log2
2
4
1-
2
4
+
1
2
+log2
3
4
1-
3
4
=
3
2
，
由（1）知，由
1
n
+
n-1
n
=1，得f（
1
n
）+f（
n-1
n
）=1，
又Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）=f（
n-1
n
）+f（
n-2
n
）+…+f（
1
n
），
所以2Sn=（n-1）×1，即Sn=
n-1
2
（n∈N*且n≥2）；
（3）当n≥2时，an=
1
(Sn+1)(Sn+1+1)
=
4
(n+1)(n+2)
，
又n=1时，a1=
4
2×3
=
2
3
也适合，
所以an=
4
(n+1)(n+2)
(n∈N*)，
∴Tn=
4
2×3
+
4
3×4
+…+
4
(n+1)(n+2)
=4（
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+…+
1
n+1
-
1
n+2
）
=4（
1
2
-
1
n+2
）=
2n
n+2
（n∈N*），
由
2n
n+2
≤λ(
n
2
+1)恒成立（n∈N*）推得λ≥
4n
n2+4n+4
，
而
4n
n2+4n+4
=
4
n+
4
n
+4
≤
4
4+4
=
1
2
（当且仅当n=2取等号），
∴λ≥
1
2
，∴λ的最小正整数为1．
点评：本题考查数列与不等式、数列与向量的综合，考查恒成立问题，考查转化思想，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
1
y1
+
1
y2
的取值范围；
（Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
1
2
+log2
x
1-x
的图象上两点，且
OM
=
1
2
(
OA
+
OB
)，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
1
2
．
（Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
（Ⅱ）定义定义Sn=
n-1
i=1
f(
i
n
)=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
1
2Sn+1
(n∈N*)．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．
设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
3
2
，短轴长为2，且
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，若
m
•
n
=0．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．
设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
（1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
x2-x1x3-x2
；
（2）求A、C两点之间距离的最小值．

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