题目内容
如图，四边形
与
均为菱形，设
与
相交于点
，若
，且
.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）证明过程详见解析；（2）余弦值为
.
解析试题分析：本题主要考查线面平行、面面平行、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.第一问，先根据菱形的定义得
，
，再根据线面平行的判定得
，
，再根据面面平行的判定得面
面
，从而证明；第二问，先根据已知条件得建立空间直角坐标系的最基本的条件，即
两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面
和平面
的法向量，利用夹角公式求出夹角并判断二面角为锐二面角，所以所求余弦值为正值.
试题解析：(1) 证明：因为四边形与均为菱形，
所以，.
因为
，
，
所以， 2分
又
，
，
，
所以
又
，
所以 4分
(2) 连接
、
,因为四边形为菱形，且
，所以
为等边三角形，
因为为中点.所以
，
又因为为中点,且，
所以
又
，所以
.6分
由
两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系
设
，因为四边形为菱形，
，
则
，
，
，
所以
..8分
所以
设平面
的一个法向量为
，
则有
,所以
，令
，则
因为
，所以平面
的一个法向量为
.10分
因为二面角为锐二面角，设二面角的平面角为
则
所以二面角的余弦值为 ..12分
考点：1.线面平行的判定；2.面面平行的判定；3.空间向量法；4.夹角公式.
练习册系列答案
亮点激活精编提优100分大试卷系列答案
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是圆柱体
的一条母线，
过底面圆的圆心
，
是圆
、
重合的任意一点，已知棱
，
，
．
；
绕母线
的三边在旋转过程中所围成的几何体的体积．
的中点,F在棱CC1上。
CF时，求多面体ABCFA1的体积；
，求三棱锥C一A1DE的体积.
的底面是正方形，
底面
，
，
，点
、
分别为棱
、
的中点.
平面
；
平面
；
的体积.
是
的中点.又已知侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关数据如图所示.
平面
，底面
，且
,
.
在线段
上运动，且设
，问当
为何值时，
平面
，并证明你的结论；
，
求四棱锥
的体积.