题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
25-a2
=1(a＞0)的左右两焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上的一点，Q点满足
PQ
•|
PF1
|=
PF1
•|
PF2
|，
F1F2
在
F1P
上的投影的大小恰为|
F1P
|，且它们的夹角为
π
6
，则a等于（　　）
A．
5
3
-5
2
B．
5
3
+5
2
C．
5
2
+5
2
D．
5
2
-5
2
因为
PQ
•|
PF1
|=
PF1
•|
PF2
|，所以
PQ
，
PF1
是一对同向向量，且|
PQ
|=|
PF2
|．
又因为
F1F2
在
F1P
上的投影的大小恰为|
F1P
|，
所以∠F1PF2=
π
2
．
在Rt△F1PF2中，∠PF1F2=
π
6
，|F1F2|=10，|PQ|=5．又|F1Q|=|PF1|-|PQ|=2a，
所以2a=5
3
-5，所以a=
5
3
-5
2
，
故选A
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已知双曲线
x2
a2
-
y2
7
=1，直线l过其左焦点F1，交双曲线的左支于A、B两点，且|AB|=4，F2为双曲线的右焦点，△ABF2的周长为20，则此双曲线的离心率e=
 
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且该双曲线的离心率为
5
，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R），则该直线过定点
（-2，1）
（-2，1）
；
（2）已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的一条渐近线方程为y=
4
3
x，则双曲线的离心率为
5
3
5
3
．
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）满足| 
a1
b
2
 |=0，且双曲线的右焦点与抛物线y2=4
3
x的焦点重合，则该双曲线的方程为
 
．

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