Question

(本题满分13分)已知点F(1，0)，圆E:，点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

(1)求动点Q的轨迹Γ的方程；

(2)若直线与圆O:相切，并与(1)中轨迹Γ交于不同的两点A、B．当=，且满足时，求△AOB面积S的取值范围．

Answer 1

(1) ；(2) [，]．

【解析】

试题分析：(1)连接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|= 符合椭圆的定义，于是可根据其焦距与长轴计算出短轴长，从而确定的值，写出动点Q的轨迹Γ的方程；

(2) 设直线的方程为(),由直线与圆相切确定的关系，设点A、B的坐标(，)、(，)，利用方程组及韦达定理，结合平面向量的数量积，把求△AOB面积S表示成 的函数，最后利用基本不等式或一元二次函数的知识求得 的最大值.

试题解析：【解析】
(1)连接QF，∵|QE|＋|QF|=|QE|＋|QP|=|PE|=(|EF|=2)，∴点的轨迹是以E(-1，0) 、F(1，0)为焦点，长轴长的椭圆，即动点Q的轨迹Γ的方程为；

(2)依题结合图形知的斜率不可能为零，所以设直线的方程为()．∵直线即与圆O:相切，∴有：

得．

又∵点A、B的坐标(，)、(，)满足：

消去整理得，

由韦达定理得，．

其判别式，

又由求根公式有．

∵==

．

．

∵，且∈[，]．

∴∈[，]．

考点：1、椭圆的定义与标准方程；2、直线与圆、直线与椭圆的位置关系综合应用.