Question

解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，f(x)＜0． (1) 证明：f(x)为奇函数 (2) 证明：f(x)在R上为减函数．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	证明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)　　令x＝y＝0得f(0)＝0……………2分 令y＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x) ∴f(x)＋f(－x)＝0　∴f(x)为奇函数．……………………………5分
(2)	证明：设是(－∞，＋∞)上的任意两个实数，且 ∵＞0，＜0…………………………………8分 由(1)知f(x)为奇函数 ∴＝＋＝－＜0 ∴＜　∴f(x)在R上为减函数……………………12分