题目内容
【题目】如图，直三棱柱
中，
，
是
中点．
证明：
平面
；
线段
上是否存在点
，使三棱锥
的体积为
？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）
为
的中点.
【解析】
连接
，与
交于点O，连接OD，
，由三角形中位线定理可得
，再由线面平行的判定可得
平面
；
连接，假设线段上存在点N，使得三棱锥
的体积为
，设N到平面 的距离为h，由三棱锥的体积为求得h，进一步求得
N为 的中点得结论．
证明：如图，连接，与 交于点O，连接OD，，
在
中，O和D分别是
和CB的中点，则，
又
平面，
平面；
解：连接，假设线段上存在点N，使得三棱锥的体积为，
设N到平面 的距离为h，
由题意可知，
为等边三角形，
又D为BC的中点，
．
又三棱柱
为直三棱柱，
，
故AD
平面
，
为直角三角形，
，
，
的面积为
，由三棱锥的体积公式可知，
，
．
又
平面，
平面
平面，
故点N到平面 的距离与点N到直线
的距离相等，
又
为等腰直角三角形，点C到直线的距离为
．
又点B与点C到到平面的距离相等，故点B到直线的距离也为，
当N为的中点时，点N到平面的距离为
，三棱锥的体积为．
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