Question

（本小题满分15分）已知函数．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数与的图象有两个不同的交点，求的取值范围；
（Ⅲ）设点是函数图象上的两点，平行于的切线以为切点，求证：．

Answer 1

(Ⅰ)(0,1)上单调递减，在上单调递增  (Ⅱ)   （Ⅲ）见解析

（Ⅰ）记，则的定义域为．
当时，因，
所以在(0,1)上单调递减，在上单调递增．……4分
（Ⅱ）由．
令．
当时，，则单调递增，且；
当时，，则单调递减，且．
所以在处取到最大值．
所以要使与有两个不同的交点，只需．…………9分
（III）由已知：，所以．
=．
设得： ．
构造函数，当时，，
所以函数在当时是增函数．
于是，时，，则，得成立．
同理，可证得成立，从而求证成立．……………………15分