Question

已知直线过点P（6，4），且分别与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，求△AOB面积的最小值，并求此时直线方程．

Answer 1

分析：设l的斜率为k给出直线的点斜式方程，用参数k表示出下线与两坐标轴的交点，表示出△AOB面积，判断其最小值，求出此时的k值，代入即得直线的方程．

解答：解：设l的斜率为k，（k＜0）（1分）
则直线l的方程为y-4=k（x-6）（2分）
令x=0得y=4-6k，令y=0得x=-

4

k

+6（5分）
∴S△AOB=

1

2

(4-6k)(6-

4

k

)（8分）
=24+18(-k)+

8

-k

（10分）
=24+18[(-k)+

4 9

(-k)

]
令t=-k＞0，由基本不等式得(t+

4 9

t

)min≥

4

3

（当且仅当k=-

2

3

时取等号）（14分）
此时S_△AOB取到最小值为48．
可得l方程为y-4=-

2

3

（x-6）即：2x+3y-24=0（16分）

点评：本题考查直线的一般式方程，考查用待定系数法设出直线的方程，根据已知的条件建立等式求参数，本题在判断面积的最小值时由于出现了积国定值的形式，故采用了基本不等式求最小值时参数的取值，注意总结这一规律．