题目内容
对于数列
，定义“
变换”：将数列
变换成数列
，其中
，且
，这种“变换”记作
.继续对数列
进行“变换”，得到数列
，…，依此类推，当得到的数列各项均为
时变换结束．
（Ⅰ）试问
和
经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求
经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明：
一定能经过有限次“变换”后结束．
（Ⅰ）解：数列
不能结束，各数列依次为
；
；
；
；
；；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为
的情形． ……2分
数列
能结束，各数列依次为
；
；
；
．
……………3分
（Ⅱ）解：
经过有限次“
变换”后能够结束的充要条件是
．……4分
若，则经过一次“变换”就得到数列
，从而结束．……5分
当数列经过有限次“变换”后能够结束时，先证命题“若数列
为常数列，则为常数列”．
当
时，数列
．
由数列为常数列得
，解得，从而数列也为常数列．
其它情形同理，得证．
在数列经过有限次“变换”后结束时，得到数列(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列也为常数列． ………8分
所以，数列经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是．
（Ⅲ）证明：先证明引理：“数列
的最大项一定不大于数列
的最大项，其中
”．
证明：记数列中最大项为
，则
．
令
，
，其中
．
因为
，
所以
，
故
，证毕．
……………9分
现将数列
分为两类．
第一类是没有为的项，或者为的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，
．
第二类是含有为的项，且与最大项相邻，此时
．
下面证明第二类数列经过有限次“变换”，一定可以得到第一类数列．
不妨令数列的第一项为，第二项
最大(
)．（其它情形同理）
① 当数列中只有一项为时，
若
(
)，则
，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若
，则
；
此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列；
若
(
)，则
，此数列各项均不为，为第一类数列；
若
，则
；
；
，
此数列各项均不为，为第一类数列．
② 当数列中有两项为时，若
(
)，则
，此数列各项均不为，为第一类数列；
若
()，则
，
，此数列各项均不为或含有项但与最大项不相邻，为第一类数列．
③ 当数列中有三项为时，只能是
，则
，
，
，此数列各项均不为，为第一类数列．
总之，第二类数列至多经过
次“变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历次“变换”，数列的最大项又开始减少．
又因为各数列的最大项是非负整数，
故经过有限次“变换”后，数列的最大项一定会为，此时数列的各项均为，从而结束．
………………13分
【解析】略
，定义变换
，
变换成数列
．
，定义变换
，
各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列
；
．
是每项均为正整数的有穷数列，令
．
；
；
，当
时，
．
，定义“
变换”：
变换成数列
，其中
，且
.这种“
.继续对数列
进行“
，依此类推，当得到的数列各项均为
时变换结束． 
经过不断的“
，
，且
．
，
；
次“