题目内容

对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且.这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．

（Ⅰ）试问经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）设，．若，且的各项之和为．

（ⅰ）求，；

（ⅱ）若数列再经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值，并说明理由．

 

【答案】

（Ⅰ）解：数列不能结束，各数列依次为；；；；；…．

以下重复出现，所以不会出现所有项均为的情形．             ………3分

（Ⅱ）解：（ⅰ）因为的各项之和为，且， 所以为的最大项，

    所以最大，即，或．  …………5分

      当时，可得

      由，得，即，故．…7分

      当时，同理可得 ，．     ………8分         

（ⅱ）方法一：由，则经过次“变换”得到的数列分别为：；；；；；．

由此可见，经过次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，与数列“结构”完全相同，但最大项减少12．

因为，

所以，数列经过次“变换”后得到的数列为．

接下来经过“变换”后得到的数列分别为：；；；；；

；，……

从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．

所以经过次“变换”得到的数列各项和最小，的最小值为．

                                           ……………13分

方法二：若一个数列有三项，且最小项为，较大两项相差，则称此数列与数列 “结构相同”．

若数列的三项为，则无论其顺序如何，经过“变换”得到的数列的三项为(不考虑顺序) ．

所以与结构相同的数列经过“变换”得到的数列也与结构相同，除外其余各项减少，各项和减少．

因此，数列经过次“变换”一定得到各项为 (不考虑顺序)的数列．

通过列举，不难发现各项为的数列，无论顺序如何，经过“变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．

所以，至少通过次“变换”，得到的数列各项和最小，故的最小值为．

                                          ……………13分

【解析】略

 

练习册系列答案
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对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A0是“0-1数列”，令Ak=T（Ak-1），k=1，2，3，…
（1）若数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．则数列A0为
1，0，1
1，0，1
；
（2）若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k=1，2，3，…，则l2n关于n的表达式．是
l2n=
1
3
（4n-1）
l2n=
1
3
（4n-1）
．
对于数列A：a1，a2，…，an，若满足ai∈{0，1}（i=1，2，3，…，n），则称数列A为“0-1数列”．定义变换T，T将“0-1数列”A中原有的每个1都变成0，1，原有的每个0都变成1，0．例如A：1，0，1，则T（A）：0，1，1，0，0，1．设A0是“0-1数列”，令Ak=T（Ak-1），k=1，2，3，…
（Ⅰ） 若数列A2：1，0，0，1，0，1，1，0，1，0，0，1．求数列A1，A0；
（Ⅱ） 若数列A0共有10项，则数列A2中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；
（Ⅲ）若A0为0，1，记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk，k=1，2，3，…求lk关于k的表达式．

20．（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

．

对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；

又定义．

设是每项均为正整数的有穷数列，令．

（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

（Ⅲ）证明对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．

对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且，这种“变换”记作.继续对数列进行“变换”，得到数列，…，依此类推，当得到的数列各项均为时变换结束．

（Ⅰ）试问和经过不断的“变换”能否结束？若能，请依次写出经过“变换”得到的各数列；若不能，说明理由；

（Ⅱ）求经过有限次“变换”后能够结束的充要条件；

（Ⅲ）证明：一定能经过有限次“变换”后结束．

 

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