题目内容

20．（本小题共13分）

对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列

．

对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列；

又定义．

设是每项均为正整数的有穷数列，令．

（Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列；

（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；

（Ⅲ）证明对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．

（Ⅰ），；（Ⅱ）略；（Ⅲ）略。


解析:

（Ⅰ），

，

；

，

．

（Ⅱ）证明设每项均是正整数的有穷数列为，

则为，，，，，

从而

．

又，

所以

，

故．

（Ⅲ）证明设是每项均为非负整数的数列．

当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，

则．

当存在，使得时，若记数列为，

则．

所以．

从而对于任意给定的数列，由

可知．

又由（Ⅱ）可知，所以．

即对于，要么有，要么有．

因为是大于2的整数，所以经过有限步后，必有．

即存在正整数，当时，

 

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