Question

（本小题满分12分）已知圆，直线

（1） 求证：对，直线与圆总有两个不同的交点A、B；

（2） 求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；

（3） 若定点P（1，1）满足，求直线的方程。

Answer 1

（1）证明见解析；（2），为圆的轨迹方程；（3）或；

【解析】

试题分析：（1）由题可知，判断直线与圆的位置关系，我们常采取两种方法，圆心到直线的距离与半径的比较，若距离大于半径，则位置关系是相离，若距离等于半径，则位置关系是相切，若距离小于半径，则位置关系是相交；或是判断直线所经过的定点和圆的关系，点在圆内，则位置关系是相交，点在圆上，则位置关系是相切，点在圆外，则位置关系是相离；（2）关于求轨迹方程的问题，求哪个点的轨迹就设哪个点的坐标，通过题中的条件将x，y的关系式求出，即得轨迹方程；（3）过一点的直线用点斜式设出，再和圆的方程联立，由韦达定理以及，得出直线方程为或；

试题解析：（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离，∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；

方法二：∵直线过定点，而点在圆内∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；（4分）

（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，又因为

,

设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是。（8分）

（Ⅲ）设，，由，

∴，化简的 ①

又由消去y得 （*）

∴ ② （10分）

由①②解得，带入（*）式解得，

∴直线的方程为或。（12分）

考点：?直线与圆的位置关系?中点轨迹方程?直线方程的应用