Question

15．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A（-2，0），B（2，0），C（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设经过D（1，0）点的直线l交椭圆异于A、B的两点M，N，试证明直线AM与BN的交点在一条定直线上，并求出该直线的方程．

Answer 1

分析 （I）设椭圆E：Ax²+By²=1（A＞0，B＞0），代入A，B，C的坐标，解方程可得A，B，进而得到椭圆方程；
（II）将直线l：y=k（x-1）代入椭圆方程，运用韦达定理，求出直线AM，BN的方程，解得交点的横坐标，化简整理，即可得到交点在定直线x=4上．

解答 解：（I）设椭圆E：Ax²+By²=1（A＞0，B＞0），
将A，B，C代入得4A=1，A+$\frac{9}{4}$B=1，
解得A=$\frac{1}{4}$，B=$\frac{1}{3}$，
可得椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（II）证明：将直线l：y=k（x-1）代入椭圆方程得
（3+4k²）x²-8k²x+4（k²-3）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{4（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}⇒2{x_1}{x_2}=5（{x_1}+{x_2}）-8$，
直线AM的方程为$y=\frac{y_1}{{{x_1}+2}}（x+2）$，即$y=\frac{{k（{x_1}-1）}}{{{x_1}+2}}（x+2）$，
直线BN的方程为$y=\frac{y_2}{{{x_2}-2}}（x-2）$，即$y=\frac{{k（{x_2}-1）}}{{{x_2}-2}}（x-2）$，
联立得$x=\frac{{2（2{x_1}{x_2}-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=\frac{{2（5{x_1}+5{x_2}-8-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=4$，
或$\begin{array}{l}x=\frac{{2（2{x_1}{x_2}-3{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}+3{x_2}-4}}=\frac{{2[{2{x_1}{x_2}-3（{x_1}+{x_2}）+4{x_2}}]}}{{（{x_1}+{x_2}）+2{x_2}-4}}=\frac{{2[{\frac{{8（{k^2}-3）}}{{3+4{k^2}}}-\frac{{24{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+4{x_2}}]}}{{\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}+2{x_2}-4}}\end{array}$
=$\frac{{4（-\frac{{4{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}+{x_2}）}}{{-\frac{{4{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}+{x_2}}}=4$，
所以直线AM与直线BN的交点在定直线x=4上．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查两直线的交点在定直线上的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立．运用韦达定理，以及联立直线方程求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．