Question

13．已知a，b是正常数，x，y∈（0，+∞），求证：$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$≥$\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$．

Answer 1

分析 不等式可整理为∴（$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$）（x+y）≥（a+b）²．从左式利用均值定理可证．

解答 解：x，y∈（0，+∞），
∴（$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$）（x+y）=a²+b²+$\frac{x}{y}$b²+$\frac{y}{x}$a²≥a²+b²+2ab=（a+b）²．
故$\frac{a^2}{x}$+$\frac{b^2}{y}$≥$\frac{{{{（a+b）}^2}}}{x+y}$，原不等式得证．

点评 考查了利用均值定理证明不等式，难点是对式子的变形．