Question

9．已知x，y，z满足方程（x-3）²+（y-4）²+（z+5）²=2，则x²+y²+z²的最小值是32．

Answer 1

分析 将方程（x-3）²+（y-4）²+（z+5）²=2看成动点P（x，y，z）到定点Q（3，4，-5）的距离为$\sqrt{2}$是解决本题的关键，再结合几何意义求最值．

解答 解：根据空间两点间的距离公式，方程（x-3）²+（y-4）²+（z+5）²=2
可以看成空间直角坐标系中的动点P（x，y，z）到定点Q（3，4，-5）的距离为定值$\sqrt{2}$，
因此，动点P在以Q为球心，以半径r=$\sqrt{2}$的球面上，
设O为坐标原点，则|OQ|=$\sqrt{3^2+4^2+5^2}$=5$\sqrt{2}$，
而x²+y²+z²表示的是：动点P（x，y，z）到原点O距离的平方，
根据几何关系，|OP|_min=|OQ|-r=5$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$，
所以，（x²+y²+z²）_min=（4$\sqrt{2}$）²=32．
故填：32．

点评 本题主要考查了空间两点间距离公式的应用，运用集合思想与数形结合的方法得出动点的轨迹，再根据几何关系求出表达式的最小值，属于中档题．