Question

如图，ABCD是正方形空地，边长为30m，电源在点P处，点P到边AD，AB距离分别为9m，3m．某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF，MN：NE=16：9．线段MN必须过点P，端点M，N分别在边AD，AB上，设AN=x（m），液晶广告屏幕MNEF的面积为S（m²）．
（1）求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；
（2）当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？

Answer 1

分析：（1）先用x表示出AM，再由MN²=AN²+AM²，用x表示出MN²．由此能够求出S关于x的函数关系式及该函数的定义域．
（2）求出S关于x的函数关系式的导数，利用导数的性质能够求出当当x取何值时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．

解答：解：（1）由题意，知AM=

3x

x-9

（10≤x≤30）． …（2分）
MN2=AN2+AM2=x2+

9x2

(x-9)2

． …（4分）
∵MN：NE=16：9，∴NE=

9

16

MN．
∴S=MN•NE=

9

16

MN2=

9

16

[x2+

9x2

(x-9)2

]．…（6分）
定义域为[10，30]．…（7分）
（2）S′=

9

16

[2x+

18x(x-9)2-9x2(2x-18)

(x-9)4

]
=

9

8

×

x[(x-9)3-81]

(x-9)3

，…（9分）
令S'=0，得x=0（舍），x=9+3

3	3

．…（10分）
当10≤x＜9+3

3	3

时，S'＜0，S关于x为减函数；
当9+3

3	3

＜x≤30时，S'＞0，S关于x为增函数；
∴当x=9+3

3	3

时，S取得最小值．                       …（13分）
答：当AN长为9+3

3	3

m时，液晶广告屏幕MNEF的面积S最小．…（14分）

点评：本题考查函数的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设条件中的隐含条件，合理地进行等价转化．