题目内容

函数满足f(x)f(x+2)=13,若f(3)=2,则f(2013)=                （    ）

A．13               B．2                C．              D．

 

【答案】

C  

【解析】

试题分析：∵f（x）?f（x+2）=13，∴f（x+2）f（x+4）=13，∴f（x）=f（x+4），∴函数f（x）是周期为4的函数．

∴f（2013）=f（503×4+1）=f（1）．

由f（1）?f（3）=13，f（3）=2，∴f(1)= ．

∴f（2013）=f（1）=，故选C。

考点：函数的周期性。

点评：中档题，由已知条件得出函数f（x）是周期函数是解题的关键。此类问题，一般解法就是研究发现函数的性质。

 

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下列结论中，正确的有
 
（写出所有正确结论的序号）
①若定义在R上的函数f（x）满足f（2010）＞f（2009），则函数f（x）在R上不是单调减函数；
②若定义在R上的函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调减函数，在区间（0，+∞）上也是单调减函数，则函数函数f（x）在R上是单调减函数；
③若定义在R上的函数f（x）满足f（-2010）=-f（2010），则函数f（x）是奇函数；
④若定义在R上的函数f（x）满足f（-2010）≠f（2010），则函数f（x）不是偶函数．
（选作题）定义在（-1，1）上的函数y=f（x）满足：对任意x，y∈（-1，1）都有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）如果当x∈（-1，0）时，有f（x）＞0，求证：f（x）在（-1，1）上是单调递减函数；
（3）在（2）的条件下解不等式：f(x+
1
2
)+f(
1
1-x
)＞0．
已知定义域是全体实数的函数y=f（x）满足f（x+2π）=f（x），且函数g（x）=
f(x)+f(-x)
2
，函数h（x）=
f(x)-f(-x)
2
．现定义函数p（x），q（x）为：p（x）=
g(x)-g(x+π)
2cosx
(x≠kπ+
π
2
)
0         (x=kπ+
π
2
)
，q（x）=
h(x)+h(x+π)
2sin2x
(x≠
kπ
2
)
0      (x=
kπ
2
)
，其中k∈Z，那么下列关于p（x），q（x）叙述正确的是（　　）
定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4x，x∈（1，2）时，f(x)=
f(1)x
，则函数f（x）的零点个数为
5
5
．

已知函数满足f(x)≤f(a)对x∈R恒成立，则函数

[　　]
A．

f(x－a)一定为奇函数

B．

f(x－a)一定为偶函数

C．

f(x＋a)一定为奇函数

D．

f(x＋a)一定为偶函数

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