Question

定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，且x∈[0，1]时，f（x）=4^x，x∈（1，2）时，f(x)=

f(1)

x

，则函数f（x）的零点个数为

5

．

Answer 1

分析：由x∈[0，1]时，f（x）=4^x，可得f（1）=4，x∈（1，2）时，f(x)=

f(1)

x

=

4

x

，而由函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移2个单位，画出函数y=f（x），结合函数的图象可求

解答：解：∵x∈[0，1]时，f（x）=4^x，
∴f（1）=4
∴x∈（1，2）时，f(x)=

f(1)

x

=

4

x

∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+1，即自变量x每增加2个单位，函数图象向上平移1个单位，自变量每减少2个单位，函数图象向下平移2个单位
画出函数y=f（x）可知，x＞0时，f（x）没有零点，而当x＜0时，函数y=f（x）=0的x有5个

故答案为：5

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，利用转化思想，将函数的零点个数问题，转化为函数图象交点个数问题，是解答本题的关键．