Question

若实数列{a_n}满足a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…），则称数列{a_n}为凸数列．
（Ⅰ）判断数列an=(

3

2

)n(n∈N+)是否是凸数列？
（Ⅱ）若数列{a_n}为凸数列，k、n、m∈N₊，且k＜n＜m，
（i）求证：

am-an

m-n

≥

an-ak

n-k

；
（ii）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：

m-n

k

Sk+

n-k

m

Sm≥

m-k

n

Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将an=(

3

2

)n(n∈N+)代入a_k+1+a_k-1-2a_k判定符号，从而确定数列{a_n}是否是凸数列；
（Ⅱ） （i）由a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）得a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1，从而a_m-a_n≥（m-n）（a_n+1-a_n）则

am-an

m-n

≥an+1-an，同理可得a_n-a_k≤（n-k）（a_n+1-a_n）即

an-ak

n-k

≤an+1-an，从而证得结论；
（ii）由

am-an

m-n

≥

an-ak

n-k

得（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n①，先证{

Sn

n

}是凸数列，由①得可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵ak+1+ak-1-2ak=(

3

2

)k+1+(

3

2

)k-1-2(

3

2

)k=

1

4

(

3

2

)k-1＞0，
∴数列an=(

3

2

)n(n∈N+)是凸数列．
证明（Ⅱ） （i）由a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）得
a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1a_m-a_n=（a_m-a_m-1）+（a_m-1-a_m-2）+…+（a_n+1-a_n）≥（m-n）（a_n+1-a_n）
⇒

am-an

m-n

≥an+1-an，a_n-a_k=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a_k+1-a_k）≤（n-k）（a_n-a_n-1）≤（n-k）（a_n+1-a_n）
⇒

an-ak

n-k

≤an+1-an，故

am-an

m-n

≥

an-ak

n-k

．
（ii）由

am-an

m-n

≥

an-ak

n-k

得（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n．①
故先证{

Sn

n

}是凸数列．
在（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n中令m=n+1得a_k+（n-k）a_n+1≥（n+1-k）a_n，令k=1，2，…，n-1，（n≥2）叠加得Sn-1+

1

2

n(n-1)an+1≥

1

2

(n+2)(n-1)an，⇒2S_n-1+n（n-1）（S_n+1-S_n）≥（n+2）（n-1）（S_n-S_n-1）

⇒n(n+1)Sn-1+n(n-1)Sn+1≥2(n2-1)Sn ⇒ Sn-1 n-1 + Sn+1 n+1 ≥2 Sn n .

故{

Sn

n

}是凸数列，由①得

m-n

k

Sk+

n-k

m

Sm≥

m-k

n

Sn．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及新定义和数列的函数特性，同时考查了计算能力，属于难题．