Question

若实数列{a_n}满足a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…），则称数列{a_n}为凸数列．
（Ⅰ）判断数列是否是凸数列？
（Ⅱ）若数列{a_n}为凸数列，k、n、m∈N₊，且k＜n＜m，
（i）求证：；
（ii）设S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将代入a_k+1+a_k-1-2a_k判定符号，从而确定数列{a_n}是否是凸数列；
（Ⅱ） （i）由a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）得a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1，从而a_m-a_n≥（m-n）（a_n+1-a_n）则，同理可得a_n-a_k≤（n-k）（a_n+1-a_n）即，从而证得结论；
（ii）由得（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n①，先证是凸数列，由①得可得结论．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴数列是凸数列．
证明（Ⅱ） （i）由a_k-1+a_k+1≥2a_k（k=2，3，…）得
a_k+1-a_k≥a_k-a_k-1a_m-a_n=（a_m-a_m-1）+（a_m-1-a_m-2）+…+（a_n+1-a_n）≥（m-n）（a_n+1-a_n）
⇒，a_n-a_k=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a_k+1-a_k）≤（n-k）（a_n-a_n-1）≤（n-k）（a_n+1-a_n）
⇒，故．
（ii）由得（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n．①
故先证是凸数列．
在（m-n）a_k+（n-k）a_m≥（m-k）a_n中令m=n+1得a_k+（n-k）a_n+1≥（n+1-k）a_n，令k=1，2，…，n-1，（n≥2）叠加得，⇒2S_n-1+n（n-1）（S_n+1-S_n）≥（n+2）（n-1）（S_n-S_n-1）
故是凸数列，由①得．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及新定义和数列的函数特性，同时考查了计算能力，属于难题．