Question

【题目】某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．

①写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；

②求该容器的建造费用最小时的r.

Answer 1

【答案】①y＝4π(c－2)r2＋，0<r≤2②当3<c≤时，建造费用最小时r＝2；当c>时，建造费用最小时，r＝.

【解析】（1）由体积V=，解得l=，

∴y=2πrl×3+4πr2×c

=6πr×+4cπr2

=2π，

又l≥2r，即≥2r，解得0＜r≤2

∴其定义域为（0，2]．

（2）由（1）得，y′=8π（c﹣2）r﹣，

=，0＜r≤2

由于c＞3，所以c﹣2＞0

当r3﹣=0时，则r=

令=m，（m＞0）

所以y′=

①当0＜m＜2即c＞时，

当r=m时，y′=0

当r∈（0，m）时，y′＜0

当r∈（m，2）时，y′＞0

所以r=m是函数y的极小值点，也是最小值点．

②当m≥2即3＜c≤时，

当r∈（0，2）时，y′＜0，函数单调递减．

所以r=2是函数y的最小值点．

综上所述，当3＜c≤时，建造费用最小时r=2；

当c＞时，建造费用最小时r=