Question

2．如图，在底面为梯形的四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，AD=CD=2，BC=4．
（Ⅰ）求证：AC⊥PB；
（Ⅱ）若PA=PB，且三棱锥D-PAC的体积为$\frac{2}{3}$，求AP的长．

Answer 1

分析 （I）连结AC，由△ACD为等腰直角三角形可得AC=2$\sqrt{2}$，∠BCA=45°，利用余弦定理解出AB，根据勾股定理的逆定理得出AC⊥AB，由面面垂直的性质得出AC⊥平面PAB，故AC⊥PB；
（II）取AB中点G，连接PG，则PG⊥平面ABCD，于是${V_{D-PAC}}={V_{P-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}•PG=\frac{2}{3}$，解出PG，利用勾股定理计算PA．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，因为AD⊥DC，AD=DC=2，所以$AC=2\sqrt{2}$，
因为AD∥BC，所以∠BCA=∠DAC=45°，
在△ABC中，$AC=2\sqrt{2}$，BC=4
所以AB²=AC²+BC²-2AC•CBcos45°=8，即$AB=2\sqrt{2}$，
所以AC²+AB²=BC²，所以AC⊥AB．
因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
所以AC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，
所以AC⊥PB．
解：（Ⅱ）取AB中点G，连接PG，因为PA=PB，所以PG⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PG?平面PAB，
所以PG⊥平面ABCD，
所以${V_{D-PAC}}={V_{P-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}•PG=\frac{2}{3}$，得PG=1，
所以$PA=\sqrt{A{G^2}+P{G^2}}=\sqrt{3}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．