Question

如图1，在Rt中，， D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2．

（1）求证：平面平面；
（2）若，求与平面所成角的余弦值；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值．

Answer 1

（1）详见解析；（2）直线BE与平面所成角的余弦值为；（3）当时，最大为 

试题分析：（1）折起之后， 又平面 
又平面，由面面垂直的判定定理可得，平面平面 
（2）由（1）知，故以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 利用空间向量中直线与平面的夹角公式即可得直线BE与平面所成角的余弦值 （3）利用（2）中的空间坐标可得：，利用二次函数的性质即可得其最大值
试题解析：（1）证明:在△中，
 又平面 
又平面,又平面,故平面平面 （4分）
（2）由（1）知，故以D为原点，分别为轴建立空间直角坐标系 因为，则    5分
，设平面的一个法向量为，
则，取法向量，则直线BE与平面所成角的正弦值：
         8分
故直线BE与平面所成角的余弦值为                 （9分）
（3）设,则,则，
，
当时，最大为                   （12分）