Question

【题目】如图，在三棱锥中， ， 分别为线段上的点，且,

.

（1）求证： 平面；

（2）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) .

【解析】试题分析; （1）连接，据勾股定理可证，即

进而证得平面, 又由勾股定理证得，于是平面

（2）由（1）知两两互相垂直，建立直角坐标系，由空间向量的夹角公式可求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

试题解析：（1）证明：连接，据题知

∵在中， ∴，且

∴，∴ ，即

∵ ∴平面, 平面，∴

∵在中， ，∴

则，∴

∵，∴ 平面

（2）由（1）知两两互相垂直，建立如图所示的直角坐标系，

且与平面所成的角为，有，则

∴

又∵由（1）知，∴ 平面

∴为平面的一个法向量

设平面的法向量为，则

∴，令，则

∴为平面的一个法向量

∴

故平面与平面的锐二面角的大小为.