Question

【题目】已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，若， ，且的周长为.

（1）求椭圆的方程；

（2） 设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2)1.

【解析】试题分析; （1）设，则，∴ ，设， ，以及， ，由,由椭圆的定义可得，结合，综合可得： ，可得椭圆的方程；

（2）由（1）知，直线的方程为： ，由此可得

.，又∵，∴ 的方程为，可得

则可得，又，∴ .，故.

当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.

综上，可知为定值1.

试题解析：（1）设，则，∴，设，由，

，将代入，整体消元得：

，∴

由,且 ，∴ ，

由椭圆的对称性知，

有，则

∵，综合可得：

∴椭圆的方程为： .

（2）由（1）知，直线的方程为：

即： ，所以

∴.

∵，∴ 的方程为，令，可得，∴

则

又点到直线的距离为，∴.

∴.

当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.

综上， .