Question

如图所示，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA₁＝2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．

(1)求BN的长；

(2)求异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值；

(3)求证：A₁B⊥C₁M.

Answer 1

[解析]　

如图所示，以C为原点建立空间直角坐标系C—xyz.

(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．

∴BN的长为.

(2)依题意得A₁(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B₁(0,1,2)，

∴异面直线BA₁与CB₁所成角的余弦值为.

(3)依题意得C₁(0,0,2)，M(，，2)，

＝(－1,1，－2)，＝(，，0)．

∴·＝－＋＋0＝0.

∴⊥∴A₁B⊥C₁M.