Question

【题目】如图，在四棱锥中， 平面，且， ， ，且， .

（Ⅰ）求证：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）通过证明平面内的直线BC平面,证明平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，以的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，过点作的平行线为轴正方向，建立空间直角坐标系.用向量法求解即可.

试题解析：（Ⅰ）∵平面，∴.又， ，

∴.故平面.又平面，∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知， ，设的方向为轴正方向， 的方向为轴正方向，过点作的平行线为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

不防设，又∵， ， ，

∴.连接，又，∴,∴，∴平面.

∴，

， ， .

设为平面的法向量，

则，即，可取.

∵为平面的法向量，∴.

又二面角的平面角为钝角，∴二面角的余弦值为.