Question

15．已（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{{x}^{2}}$）ⁿ（n∈N₊）的二项展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10：1．
（1）求二项展开式中各项系数的和；
（2）求二项展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

Answer 1

分析 （1）利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，求出第五项的系数与第三项的系数，根据已知条件列出方程，求出n的值，将n的值代入二项式，给二项式中的x赋值1，求出展开式中各项系数的和．
（2）设T_r+1的系数最大（1≤r≤7），则r是偶数时系数为正，可知，r取2，4，6．又由C₈^r-2•2^r-2≤C₈^r•2^r≤C₈^r+2•2^r+2，得，r=6，即可求二项展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

解答 解：（1）由题意知，展开式的第五项系数为C_n⁴•（-2）⁴，第三项的系数为C_n²•（-2）²
则有C_n⁴•（-2）⁴=10•C_n²•（-2）²，化简，得n²-5n-24=0
解得n=8或n=-3（舍去）        
令x=1，得各项系数的和为（1-2）⁸=1．…（5分）
（2）设T_r+1的系数最大（1≤r≤7）
则r是偶数时系数为正，可知，r取2，4，6．
又由C₈^r-2•2^r-2≤C₈^r•2^r≤C₈^r+2•2^r+2，得，r=6，
∵T₁的系数为1，T₇的系数为792，T₉的系数为256，
∴展开式中系数最大的项为T₇=$\frac{1792}{{x}^{11}}$，…（10分）
∵n=8，∴二项式系数最大的项为T₅=$\frac{11120}{{x}^{6}}$．…（12分）

点评 求二项展开式的特定项问题一般借助的工具是二项展开式的通项公式；求二项展开式的各项系数和问题，一般通过观察，通过赋值的方法来解决．