Question

4．已知函数f（x）=f（$\frac{1}{x}$），当x∈[1，3]时，f（x）=lnx，在区间[$\frac{1}{3}$，3]内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{e}$）
• B． （$\frac{1}{2e}$，$\frac{1}{e}$）
• C． [$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 化简可得f（x）=|lnx|，从而作函数f（x）=|lnx|与函数y=ax的图象，从而利用导数及数形结合的思想求解．

解答 解：当x∈[$\frac{1}{3}$，1]时，$\frac{1}{x}$∈[1，3]，
故f（x）=f（$\frac{1}{x}$）=ln$\frac{1}{x}$=-lnx；
故f（x）=|lnx|，
作函数f（x）=|lnx|与函数y=ax的图象如下，
，
设直线l与f（x）=|lnx|相切，如图，设切点为（x，lnx），
则由导数的几何意义可得，$\frac{1}{x}$=$\frac{lnx}{x}$，
故x=e；
故k_l=$\frac{1}{e}$；
故实数a的取值范围是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$），
故选：C．

点评 本题考查了导数的几何意义的应用及数形结合的思想应用．