Question

13．已知函数f（x）=log₂（|x-1|+|x+2|-a）．
（Ⅰ）当a=7时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=7时，利用对数函数的真数大于0，列出不等式，利用绝对值不等式转化为：代数不等式即可求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）利用绝对值的几何意义，转化求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由题设知：|x-1|+|x+2|＞7，
令x-1=0，x+2=0，解得x=1，x=-2，这就是两个分界点．把全体实数分成3个区间．
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
$\left\{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x-1+x+2＞7}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜1}\\{-x+1+x+2＞7}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x+!-x-2＞7}\end{array}\right.$…（3分）
解得函数f（x）的定义域为（-∞，-4）∪（3，+∞）； …（5分）
（Ⅱ）不等式f（x）≥3即：|x-1|+|x+2|≥a+8，
∵x∈R时，恒有|x-1|+|x+2|≥|（x-1）-（x+2）|=3，…（8分）
∵不等式|x-1|+|x+2|≥a+8解集是R，∴a+8≤3，
∴a的取值范围是：（-∞，-5]．…（10分）

点评 本题考查函数恒成立，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．