Question

过曲线上的一点Q（0，2）作曲线的切线，交x轴于点P₁，过P₁作垂直于x轴的直线交曲线于Q₁，过Q₁作曲线的切线，交x轴于点P₂；过P₂作垂直于x轴的直线交曲线于Q₂，过Q₂作曲线的切线，交x轴于点P₃；…如此继续下去得到点列：P₁，P₂，P₃，…P_n，…，设P_n的横坐标为x_n（n∈N^*）
（I）试用n表示x_n；
（II）证明：；
（III）证明：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ），所以曲线在处的切线为：，由此能求出x_n=2ⁿ-1．
（Ⅱ）当n≥3时，有2ⁿ＞2^n-1+1，所以，则当n≥3时，由此能证明．
（Ⅲ）由，知，由此能够证明．
解答：解：（Ⅰ），-----------（1分）
所以曲线在处的切线为：
-------------（2分）
设直线和x轴交点横坐标x_n=2x_n-1+1，
即x_n+1=2（x_n-1+1），另可解x₁=1
则x_n+1=2ⁿ，
∴x_n=2ⁿ-1…（4分）
（Ⅱ）当n≥3时，有2ⁿ＞2^n-1+1，
∴----------（5分）
则当n≥3时，
-------------------------（7分）
另…（8分）
（Ⅲ）∵，---------------（9分）
∴，
即，
移项得：------------------（12分）
∴．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，计算量大，综合性质强，比较繁琐．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意计算能力的培养．