Question

给定曲线f（x）=ax³+x²（a≠0）．
（1）若a=1，过点P（1，2）引曲线的切线，求切线方程；
（2）若过曲线上的点Q引曲线的切线只有一条，求点Q的坐标；
（3）若x∈（0，1）时，以曲线段上任一点为切点的切线斜率的绝对值不大于1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导函数，然后讨论点P是否为切点，当P（1，2）为切点时，切线斜率k=f'（1），然后利用点斜式方程可求出切线方程，当P（1，2）不是切点时，设切点为T（x₀，x₀³+x₀²），切线斜率k=f'（x₀），然后根据k=k_PT建立等式关系，求出切点，从而求出切线方程；
（2）设Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q为切点时必然存在一条切线，求出切线方程，然后与曲线联立方程组，使关于x的方程只有一个根x₁，△=0，可求出点Q的坐标；
（3）由题意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立，然后将a分离出来得

-1-2x

3x2

≤a≤

1-2x

3x2

，然后分别研究左边函数在x∈（0，1）的最大值，右边函数在x∈（0，1）的最小值，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=x³+x²，f'（x）=3x²+2x
①当P（1，2）为切点时，切线斜率k=f'（1）=5，此时切线方程为y-2=5（x-1），即y=5x-3．
②当P（1，2）不是切点时，设切点为T（x₀，x₀³+x₀²），切线斜率k=f'（x₀）=3x₀³+2x₀
另一方面，k=k_PT=

x 3 0 + x 2 0 -2

x0-1

∴

x 3 0 + x 2 0 -2

x0-1

=3

x

2 0

+2x0，(x0-1)2(x0+1)=0，
∵x₀≠1，∴x₀=-1，∴T（-1，0），此时切线y=x+1
综上，所求的切线为y=5x-3或y=x+1．
（2）设Q（x₁，ax₁³+x₁²），以Q为切点时必然存在一条切线．
切线斜率k=f'（x₁）=3ax₁²+2x₁，
切线方程为：y-（ax₁³+x₁²）=3（ax₁²+2x₁）（x-x₁），联立曲线y=ax³+x²，
得（x-x₁）[ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁]=0，
由于这样的切线只有一条，所以上述关于x的方程只有一个根x₁，
即二次方程ax²+（ax₁+1）x-2ax₁²-x₁=0只有一个根x₁，
显然把x=x₁代入满足，故△=（ax₁+1）²+4a（2ax₁²+x₁）=0
化简为：△=9a²x₁²+6ax₁+1=（3ax₁+1）²=0，解得x₁=-

1

3a

，得Q(-

1

3a

，

2

27a2

)
（3）由题意得：-1≤3ax²+2x≤1，x∈（0，1）恒成立
∴

-1-2x

3x2

≤a≤

1-2x

3x2

∵

1-2x

3x2

=

1

3

(

1

x2

-2

1

x

)=

1

3

[(

1

x

-1)2-1]＞-

1

3

，

-1-2x

3x2

=-

1

3

(

1

x2

+2

1

x

)=-

1

3

[(

1

x

+1)2-1]＜-1，
∴-1≤a≤-

1

3

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．