Question

已知二项式(

x

+

1

2 4 x

)n的展开式中，前三项的系数成等差数列．
（1）求n；
（2）求展开式中的一次项；
（3）求展开式中所有项的二项式系数之和．

Answer 1

分析：（1）由题意二项式(

x

+

1

2 4 x

)n的展开式中，前三项的系数成等差数列，可得出

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，解此方程求出n的值；
（2）由项的展开式Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r整理得Tr+1=

C

r 8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，令x的指数为1，解出r的值，即可求得一次项；
（3）二项式系数的和为C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸的和，计算出它的值即得．

解答：解：（1）前三项的系数为

C

0 n

，

1

2

C

1 n

，

1

4

C

2 n

，…（1分）
由题设，得 

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，…（2分）
即n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去）．           …（4分）
（2）Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r(

1

2 4 x

)r=

C

r 8

(

1

2

)rx4-

3r

4

，…（6分）
令4-

3r

4

=1，得r=4．…（8分）
所以展开式中的一次项为T5=

C

4 8

(

1

2

)4x=

35

8

x．…（10分）
（3）∵C₈⁰+C₈¹+C₈²+…+C₈⁸=2⁸=256，
∴所有项的二项式系数和为256．…（14分）

点评：本题考点二项式系数的性质，考查了二项式的项，等差数列的性质，二项式系数和的公式，解题的关键是熟练掌握二项式的性质及等差数列的性质，二项式的性质是一个非常重要的考点，也是每年高考的必考点，本题很典型，包括了二项式的主要性质，题后注意总结