Question

6．已知直线l₁：2x+y=3与直线l₂：x-y=0相交于点A．
（Ⅰ）求过点A且垂直于直线l₁的直线l₃的方程；
（Ⅱ）求直线l₁与直线l₄：4x+2y+m²+1=0间距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求得A的坐标，再根据两直线垂直，斜率之积等于-1求得直线l₃的斜率，用点斜式求得直线l₃的方程．
（Ⅱ）先将两条直线的方程的x，y的系数化一致，代入平行线距离公式，可得答案．

解答 解：（Ⅰ）联立直线l₁和直线l₂的方程$\left\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-y=0\end{array}\right.$，
解得：x=y=1，
故A点坐标为（1，1），
由l₃⊥l₁，l₁的斜率为-2，
故l₃的斜率为$\frac{1}{2}$，
故直线l₃的方程为y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y+1=0，
（Ⅱ）直线l₁的方程可化为：4x+2y-6=0，
则直线l₁与直线l₄的距离d=$\frac{|{m}^{2}+1-（-6）|}{\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{|{m}^{2}+7|}{2\sqrt{5}}$≥$\frac{7}{2\sqrt{5}}$=$\frac{7\sqrt{5}}{10}$，
故直线l₁与直线l₄间距离的最小值为$\frac{7\sqrt{5}}{10}$．

点评 本小题主要考查直线垂直的性质，直线的交点，平行线之间的距离等知识，考查运算求解能力，属于中档题．