Question

16．当x∈（-2，-1）时，不等式（x+1）²＜log_a|x|恒成立，则实数a的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 根据二次函数的性质可知，不等式（x+1）²＜log_a|x|在（-2，-1）上恒成立，则a＞1，且当x=-2时的函数值大于1，从而可求a的范围．

解答 解：令f（x）=（x+1）²，g（x）=log_a|x|，
当0＜a＜1时，log_a|x|＜0，（x+1）²＞0，不成立；
故a＞1，当x∈（-2，-1），f（x）=（x+1）²在（-2，-1）上单调递减，
∴0＜f（x）＜1，
若使得不等式（x+1）²＜log_a|x|恒成立，则g（x）=log_a|x|＞1，
∴log_a2≥1，
∴1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．

点评 本题考查的知识点是函数的恒成立问题，其中根据二次函数和对数函数的图象和性质，结合已知条件构造关于a的不等式，是解答本题的关键．